Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. Vamos precisar usar uma substituição para transformar essa equação em uma forma que conseguimos resolver mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:

Passo 3

A próxima etapa é fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos uma nova variável como:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão de :
Então,
Como , temos:
Agora, a equação está na forma linear:

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear para usando um fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Depois de encontrar , lembramos que . Então, isolamos :
Finalmente, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .

Resposta

A solução da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial , é encontrada seguindo os passos acima e realizando as integrações necessárias durante a resolução. A expressão final de dependerá das integrais que foram calculadas nos passos intermediários.

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