Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. Vamos precisar usar uma substituição para transformar essa equação em uma forma que conseguimos resolver mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, identifique os termos da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:
Passo 3
A próxima etapa é fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos uma nova variável
como:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Então,
Como
, temos:
Agora, a equação está na forma linear:
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear para
usando um fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Depois de encontrar
, lembramos que
. Então, isolamos
:
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Resposta
A solução da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial
, é encontrada seguindo os passos acima e realizando as integrações necessárias durante a resolução. A expressão final de
dependerá das integrais que foram calculadas nos passos intermediários.
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