Resolva os problemas de valor inicial abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é: com a condição inicial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para torná-la mais fácil de resolver. Temos:
Podemos dividir ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para direcioná-la a uma forma que possamos integrar. Vamos multiplicar ambos os lados por :
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos tentar integrar.

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos reescrevê-la de forma que todos os termos em fiquem de um lado e os termos em do outro. Assim:
Vamos rearranjar para:

Passo 5

Observamos que a equação é não linear devido ao termo . Para resolver, podemos tentar encontrar uma substituição que simplifique a equação. Vamos considerar . Então, derivando ambos os lados em relação a :
Sabemos que , substituindo:

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante. O fator integrante é:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Usamos integração por partes para resolver a integral:
Seja e ,
Então e .
Aplicando:
Portanto:
Simplificando:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Lembrando que :

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 11

Substituindo na equação de :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
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