Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para torná-la mais fácil de resolver. Temos:
Podemos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para direcioná-la a uma forma que possamos integrar. Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos tentar integrar.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos reescrevê-la de forma que todos os termos em
fiquem de um lado e os termos em
do outro. Assim:
Vamos rearranjar para:
Passo 5
Observamos que a equação é não linear devido ao termo
. Para resolver, podemos tentar encontrar uma substituição que simplifique a equação. Vamos considerar
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Sabemos que
, substituindo:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante. O fator integrante
é:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usamos integração por partes para resolver a integral:
Seja e
,
Então e
.
Aplicando:
Seja
Então
Aplicando:
Portanto:
Simplificando:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 11
Substituindo
na equação de
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
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Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
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