Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, encontrar a solução geral. Isso envolve conceitos de equações diferenciais exatas e como encontrar potenciais para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique no padrão
. Assim:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 4
Vimos que:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Para integrar, fazemos uma substituição:
- Seja
, então ou .
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Sabemos que
, então:
Isso nos dá:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
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;
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