Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a equação diferencial é exata e, se for, encontrar a solução geral. Isso envolve conceitos de equações diferenciais exatas e como encontrar potenciais para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique no padrão . Assim:
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Vimos que:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 5

Vamos encontrar a função integrando em relação a :
Para integrar, fazemos uma substituição:
  • Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Sabemos que , então:
Isso nos dá:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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