Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
Passo 1
Então, a gente tem um problema de equações diferenciais aqui. A equação é com as condições iniciais e . Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com partes homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, encontramos a equação característica associada, que é .
Passo 3
Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes. Calculando o discriminante: . Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais: .
Passo 4
Com raízes iguais , a solução geral da parte homogênea é , onde e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de grau 1, vamos supor uma solução particular da forma .
Passo 6
Calculando as derivadas de :
Passo 7
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para : →
Para os termos constantes: → → → →
Passo 9
Então, a solução particular é .
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: :
→ →
Passo 12
Segunda condição: .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando :
→
Substituindo :
→ →
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Mostrar que a curvatura da catenária $\vec{r}(t)=(t, \cosh t),-\infty
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Resolva os problemas de valor inicial:
(f)