Resolva os problemas de valor inicial:
(a) , em que
(b) , em que
© , em que
(d) , em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . A função muda dependendo do intervalo de :
Vamos resolver essa equação passo a passo usando a transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em algébricas, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de . Como é uma função por partes, vamos expressá-la usando funções degrau de Heaviside:
Aplicando a transformada de Laplace:
Então:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos inverter a transformada de Laplace para encontrar . Primeiro, resolvemos a parte homogênea:
Sabemos que:
Então:
Para as outras partes com e , usamos o teorema da primeira e segunda mudança de variável, que desloca a função no tempo.

Passo 5

Aplicando a inversa da transformada de Laplace:
Simplificando, considerando que e :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é a função degrau de Heaviside.

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