Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . A função muda dependendo do intervalo de :
Vamos resolver essa equação passo a passo usando a transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em algébricas, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de . Como é uma função por partes, vamos expressá-la usando funções degrau de Heaviside:
Aplicando a transformada de Laplace:
Então:
Isolando :
Passo 4
Agora, vamos inverter a transformada de Laplace para encontrar . Primeiro, resolvemos a parte homogênea:
Sabemos que:
Então:
Para as outras partes com e , usamos o teorema da primeira e segunda mudança de variável, que desloca a função no tempo.