Resolva os problemas de valor inicial:
(a) y'' + 2y' + 2y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < pi; 2, para pi <= t < 2 pi; 0, para t >= 2 pi }
(b) y'' + 4y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 0, em que f(t) = { sen(t) para 0 <= t < 2pi; 0 para t >= 2pi }
© y'' + 3y' + 2y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 0, em que f(t) = { 1, para 0 <= t < 10; 0, para t >= 10 }
(d) y'' + 3 y' + 2 y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < 2; 1, para t >= 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . A função muda dependendo do intervalo de :
Vamos resolver essa equação passo a passo usando a transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em algébricas, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de . Como é uma função por partes, vamos expressá-la usando funções degrau de Heaviside:
Aplicando a transformada de Laplace:
Então:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos inverter a transformada de Laplace para encontrar . Primeiro, resolvemos a parte homogênea:
Sabemos que:
Então:
Para as outras partes com e , usamos o teorema da primeira e segunda mudança de variável, que desloca a função no tempo.

Passo 5

Aplicando a inversa da transformada de Laplace:
Simplificando, considerando que e :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é a função degrau de Heaviside.

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