Resolva os problemas de valores de contorno ou mostre que não têm solução. y'' + y = 0, y(0) = 1, y(L) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno específicas. O problema está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Precisamos resolver a equação sabendo que e . Para isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs com condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução para essa equação envolve funções trigonométricas, já que a equação característica tem raízes imaginárias.

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral. Considerando a equação característica associada:
As raízes são:
Portanto, a solução geral é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Agora, aplicamos a primeira condição de contorno . Substituindo na solução geral:
Sabemos que e , então:
Logo, .

Passo 5

Com , nossa solução agora fica:
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno :

Passo 6

Resolvendo para :
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Contudo, precisamos verificar se não é zero, pois senão não estaria definido. quando , onde é um inteiro. Nessas situações, a única solução que satisfaz e seria possível se , o que não acontece quando . Portanto, se não for múltiplo de , a solução existe e é única.

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições de contorno e é:

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