Resolva os problemas de valores de contorno ou mostre que não têm solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno específicas. O problema está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Precisamos resolver a equação
sabendo que
e
. Para isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs com condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução para essa equação envolve funções trigonométricas, já que a equação característica tem raízes imaginárias.
Passo 3
Vamos encontrar a solução geral. Considerando a equação característica associada:
As raízes são:
Portanto, a solução geral é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno
. Substituindo
na solução geral:
Sabemos que
e
, então:
Logo,
.
Passo 5
Com
, nossa solução agora fica:
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno
:
Passo 6
Resolvendo para
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Contudo, precisamos verificar se
não é zero, pois senão
não estaria definido.
quando
, onde
é um inteiro. Nessas situações, a única solução que satisfaz
e
seria possível se
, o que não acontece quando
. Portanto, se
não for múltiplo de
, a solução existe e é única.
Resposta
A solução da equação diferencial
com as condições de contorno
e
é: