Resolva os problemas de valores de contorno ou mostre que não têm solução. y'' + 2y = x, y(0) = 0, y(pi) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor de contorno. A equação que temos é , com as condições e . Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos para resolver equações com condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, encontramos a equação característica associada: . Resolvendo essa equação, temos as raízes . Isso nos diz que a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Vamos supor que a solução particular seja uma função linear, ou seja, . Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, aplicamos :
Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

A solução que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é:

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