Resolva os problemas de valores de contorno ou mostre que não têm solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor de contorno. A equação que temos é
, com as condições
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos para resolver equações com condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
. Resolvendo essa equação, temos as raízes
. Isso nos diz que a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Vamos supor que a solução particular
seja uma função linear, ou seja,
. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, aplicamos
:
Agora, aplicamos
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução que satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno é: