Universidade Federal de Vicosa
Prova - MAF 243 - Cálculo Diferencial e Lnteg
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4. ( 25 pontos) Use o Teorema de Stokes para calcular
integralC F cdot d r
onde F(x, y, z)=e^-x i+e^x j+e^z k e C é a fronteira da parte do plano 2 x+y primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e é a fronteira da parte do plano no primeiro octante. Para isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha com uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema nos diz que a integral de linha de um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS ao longo de uma curva fechada é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como sua fronteira. Em fórmula:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z e^-x & e^x & e^z , que é nabla times F = ( partial e^zpartial y - partial e^xpartial z ) i - ( partial e^zpartial x - partial e^-xpartial z ) j + ( partial e^xpartial x - partial e^-xpartial y ) k . Para o campo nabla times F = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (e^x - 0)k = e^xk , temos:
Calculando o determinante:
Simplificando as derivadas:

Passo 4

Agora precisamos escolher uma superfície y = -2x + z cuja fronteira seja . Como é a fronteira da parte do plano no primeiro octante, vamos considerar essa mesma região como nossa superfície . O primeiro octante significa que , e são positivos.
Para parametrizar o plano , podemos resolver para :
Mas para simplificar, vamos definir já que estamos no primeiro octante e o plano é , mas isso não faz muito sentido. Provavelmente, o enunciado quis dizer um plano como . Porém, como está um pouco aberto, vamos assumir que a superfície é a parte do plano no primeiro octante limitada pelas interseções com os eixos.

Passo 5

Vamos calcular a integral de superfície n = 2i + j + 0k = 2i + j .
Primeiro, precisamos do vetor normal n = 2i + jraiz2^2 + 1^2 = 2i + jraiz5 à superfície integral duplaS e^x k cdot 2i + jraiz5 , dS . Como k cdot (2i + j) = 0 está no plano , podemos encontrar o vetor normal a esse plano. O vetor normal ao plano é . No nosso caso, o plano é , então:
Para facilitar a integração, vamos normalizar :
Agora, a integral fica:
Como é perpendicular a e , o produto escalar será zero:

Passo 6

Portanto, a integral de superfície é:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = 0

Resposta

A integral vale 0.

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