Resolva o
a) Qual o intervalo de validade da solucão?
b) Qual o limite de quando . O limite depende de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. O objetivo aqui é resolver essa equação e responder duas perguntas: qual o intervalo de validade da solução e qual é o limite de quando vai para mais infinito, verificando também se esse limite depende do valor inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e analisar o comportamento da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Podemos rearranjar essa equação para colocá-la na forma padrão de uma equação linear:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . Assim:
Portanto, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com (para evitar a raiz de um número negativo e facilitar a análise), podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A equação agora pode ser escrita como:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então, isolando :

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Portanto, . Substituindo de volta na solução:

Passo 6

Agora, vamos analisar o intervalo de validade da solução. A solução que encontramos envolve a expressão , que é real e definida quando , ou seja, quando . Além disso, a equação diferencial original tem um denominador , que não pode ser zero para evitar divisão por zero. Portanto, o intervalo de validade é:
No entanto, como a condição inicial é (que está na faixa ), a solução é válida para .

Passo 7

Para encontrar o limite de quando tende a , observamos a expressão da solução:
À medida que cresce muito, domina sobre 9, então:
Portanto:
Esse limite é zero independentemente do valor de , ou seja, não depende de .

Resposta

a) O intervalo de validade da solução é .
b) O limite de quando é , e esse limite não depende de .

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