Resolva o
a) Qual o intervalo de validade da solucão?
b) Qual o limite de
quando
. O limite depende de
?
b) Qual o limite de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. O objetivo aqui é resolver essa equação e responder duas perguntas: qual o intervalo de validade da solução e qual é o limite de
quando
vai para mais infinito, verificando também se esse limite depende do valor inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e analisar o comportamento da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Podemos rearranjar essa equação para colocá-la na forma padrão de uma equação linear:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Assim:
Portanto, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com
(para evitar a raiz de um número negativo e facilitar a análise), podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A equação agora pode ser escrita como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então, isolando
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Portanto,
. Substituindo de volta na solução:
Passo 6
Agora, vamos analisar o intervalo de validade da solução. A solução que encontramos envolve a expressão
, que é real e definida quando
, ou seja, quando
. Além disso, a equação diferencial original tem um denominador
, que não pode ser zero para evitar divisão por zero. Portanto, o intervalo de validade é:
No entanto, como a condição inicial é
(que está na faixa
), a solução é válida para
.
Passo 7
Para encontrar o limite de
quando
tende a
, observamos a expressão da solução:
À medida que
cresce muito,
domina sobre 9, então:
Portanto:
Esse limite é zero independentemente do valor de
, ou seja, não depende de
.
Resposta
a) O intervalo de validade da solução é
.
b) O limite de
quando
é
, e esse limite não depende de
.
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