Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n^2(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente usar um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se a série sumn=1^infty n^2(2 n+1)! converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a teoria das séries infinitas e, para resolver, vamos precisar conhecer e aplicar um teste de convergência adequado, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Seja an = n^2(2n+1)!. Precisamos calcular o limite:
L = limn to infty an+1an = limn to infty (n+1)^2(2(n+1)+1)! cdot (2n+1)!n^2
Simplificando, temos:
L = limn to infty (n+1)^2(2n+3)(2n+2) cdot 1n^2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
L = limn to infty (n+1)^2n^2 cdot 1(2n+2)(2n+3)
Dividindo cada termo por n:
L = limn to infty (1 + 2n + 1n^2) cdot 14n^2 + 10n + 6
À medida que n tende ao infinito, os termos 2n e 1n^2 vão a zero, e no denominador, 4n^2 domina. Portanto:
L = limn to infty 14n^2 = 0

Passo 5

Como o limite L = 0 é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série sumn=1^infty n^2(2 n+1)! converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2(2 n+1)! é convergente.

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