Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente usar um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a teoria das séries infinitas e, para resolver, vamos precisar conhecer e aplicar um teste de convergência adequado, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Seja . Precisamos calcular o limite:
Simplificando, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Dividindo cada termo por :
À medida que tende ao infinito, os termos e vão a zero, e no denominador, domina. Portanto:

Passo 5

Como o limite é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Resolva o
a) Qual o intervalo de validade da solucão?
b) Qual o limite de quando . O limite depende de ?