Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente usar um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a teoria das séries infinitas e, para resolver, vamos precisar conhecer e aplicar um teste de convergência adequado, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Seja
. Precisamos calcular o limite:
Simplificando, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Dividindo cada termo por
:
À medida que
tende ao infinito, os termos
e
vão a zero, e no denominador,
domina. Portanto:
Passo 5
Como o limite
é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.
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Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Resolva o
a) Qual o intervalo de validade da solucão?
b) Qual o limite de quando
. O limite depende de
?
b) Qual o limite de