Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 13^n-1+1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se a série sumn=1^infty 13^n-1+1 é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência e comparar com séries que já sabemos se convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: 13^n-1+1. Observando esse termo, percebemos que para valores grandes de n, o termo 3^n-1 domina o +1, então podemos aproximar 13^n-1+1 por 13^n-1.

Passo 3

Agora, consideramos a série comparativa sumn=1^infty 13^n-1. Essa é uma série geométrica com razão r = 13. Sabemos que uma série geométrica converge se a razão |r| < 1, o que é verdade nesse caso.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que 13^n-1+1 < 13^n-1 para todo n >= 1. Como a série sumn=1^infty 13^n-1 é convergente e os termos da nossa série original são menores que os termos dessa série convergente, pela comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 13^n-1+1 é convergente.

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