Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência e comparar com séries que já sabemos se convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Observando esse termo, percebemos que para valores grandes de
, o termo
domina o
, então podemos aproximar
por
.
Passo 3
Agora, consideramos a série comparativa
. Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se a razão
, o que é verdade nesse caso.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que
para todo
. Como a série
é convergente e os termos da nossa série original são menores que os termos dessa série convergente, pela comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
é convergente.