Utilizando o Exercício 11, resolva as EDO©
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente das EDOs não lineares. Para resolver, vamos utilizar o método de substituição adequado para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor sua estrutura:
Observamos que a equação pode ser colocada na forma:
Isso se assemelha a uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
onde
e
são funções de
, e
é um expoente real. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação fica na forma:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usamos integração por partes para resolver a integral do lado direito.
Passo 8
Após calcular a integral, encontramos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.