Utilizando o Exercício 11, resolva as EDO© y' = y (x y^3 - 1)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: . Esse tipo de equação pertence ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente das EDOs não lineares. Para resolver, vamos utilizar o método de substituição adequado para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor sua estrutura:
Observamos que a equação pode ser colocada na forma:
Isso se assemelha a uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
onde e são funções de , e é um expoente real. No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão de :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação fica na forma:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Usamos integração por partes para resolver a integral do lado direito.

Passo 8

Após calcular a integral, encontramos:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Lembrando que , temos:

Passo 10

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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