Resolva os PVI(a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve resolver a seguinte equação diferencial:
com a condição inicial . Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais para encontrar a função que satisfaça essa equação e a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Observamos que a equação não é linear devido ao termo . Para resolver, vamos tentar separar as variáveis ou fazer uma substituição que simplifique a equação. Vamos optar por uma substituição para facilitar.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Calculando a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo da equação original na expressão de :
Simplificando:
Como , ficamos com:

Passo 6

Agora temos uma equação linear para :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante.

Passo 7

Calculando o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Então:

Passo 9

Lembrando que , temos:
Resolvendo para :

Passo 10

Aplicamos a condição inicial :
Resolvendo:

Resposta

A solução do PVI é:

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