Resolva os PVI(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve resolver a seguinte equação diferencial:
com a condição inicial
. Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais para encontrar a função
que satisfaça essa equação e a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Observamos que a equação não é linear devido ao termo
. Para resolver, vamos tentar separar as variáveis ou fazer uma substituição que simplifique a equação. Vamos optar por uma substituição para facilitar.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Como
, ficamos com:
Passo 6
Agora temos uma equação linear para
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante.
Passo 7
Calculando o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Então:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Resolva os PVI(e)
Utilizando o Exercício 11, resolva as EDO(a)
;
Use o Teorema de Stokes para calcular
em que
é a curva parametrizada por
, sen
. Dica: lembre-se que
.
Use o Teorema do Divergente para calcular
em que
e
é a superfície do sólido
com
e
.