Resolva o PVI por séries de potências: y'' + 3x y' - 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -1.
Passo 1) Substitua a série na EDO.
Passo 2) Encontre uma relação de recorrênica para a_n.
Passo 3) Apresente a solução com pelo menos os 5 primeiros termos não nulos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é resolver essa EDO usando séries de potências.
Para isso, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências:
Isso significa que a gente assume que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de multiplicadas por coeficientes .
Agora, vamos substituir essa série na EDO dada:
Para fazer isso, precisamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na EDO, temos:

Passo 2

Agora, vamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes .
Primeiro, vamos lidar com o termo :
Agora, reescrevendo toda a EDO substituída:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem somar zero. Então, igualamos os coeficientes de a zero:
Simplificando:
Portanto, a relação de recorrência é:
Essa relação nos permite calcular os coeficientes a partir de .

Passo 3

Vamos agora encontrar os cinco primeiros termos não nulos da série para determinar a solução aproximada.
Primeiro, usamos as condições iniciais:
Agora, aplicamos a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, os cinco primeiros termos não nulos são:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução aproximada do PVI por séries de potências com os primeiros cinco termos não nulos é:

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