Resolva os PVIs abaixo, usando a transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. Basicamente, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
A transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
onde
é a transformada de Laplace de
.
Aplicando isso na nossa equação:
Ficando:
Passo 3
Agora, substituímos as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos com
e os termos constantes:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de
. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos
:
Agora, usamos as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando isso:
Resposta
A solução do problema é:
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Use a tabela da transformada de Laplace para dizer qual é a função
que tem a transformada de Laplace abaixo?
Resolva os PVIs abaixo, usando a transformada de Laplace.
.
Qual é o décimo termo do desenvolvimento de
?
Determine o segundo, o vigésimo e o trigésimo primeiro termos do desenvolvimento de
.