Resolva os PVIs abaixo, usando a transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. Basicamente, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
A transformada de Laplace vai nos ajudar a transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
onde é a transformada de Laplace de .
Aplicando isso na nossa equação:
Ficando:

Passo 3

Agora, substituímos as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Vamos agrupar os termos com e os termos constantes:
Agora, isolamos :

Passo 5

Para encontrar , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de . Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos :
Agora, usamos as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando isso:

Resposta

A solução do problema é:

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Use a tabela da transformada de Laplace para dizer qual é a função que tem a transformada de Laplace abaixo?
Resolva os PVIs abaixo, usando a transformada de Laplace.
.
Qual é o décimo termo do desenvolvimento de ?
Determine o segundo, o vigésimo e o trigésimo primeiro termos do desenvolvimento de .