Use a tabela da transformada de Laplace para dizer qual é a função que tem a transformada de Laplace abaixo?

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos encontrar a função cuja transformada de Laplace é dada por
Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais transformando-as do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos utilizar a tabela de transformadas de Laplace e entender como manipular a expressão fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a comparação com as formas padrão na tabela de Laplace. Observamos que:
Podemos completar o quadrado para reescrever essa expressão:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador para que a expressão se encaixe nas formas conhecidas da tabela de Laplace. Observe que:
Substituindo isso na fração, temos:

Passo 4

Comparando essa expressão com a tabela de transformadas de Laplace, identificamos uma correspondência com a transformada da função exponencial multiplicada por um cosseno. A tabela nos diz que:
Aqui, podemos ver que e .

Passo 5

Portanto, a função que corresponde à transformada de Laplace dada é:

Resposta

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