Resolva os PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial do primeiro grau. A equação que precisamos resolver é:
Vamos usar o método das equações diferenciais lineares para resolver isso. Esse método envolve encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar e resolver a equação. Vamos precisar usar integrais e um pouco de álgebra para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial linear padrão, que tem a forma:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Para o lado direito, fazemos uma substituição:
  • Seja , então ou
Então,
Portanto, temos:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Finalmente, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Quando :

Resposta

A solução do PVI é:

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Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
© .
Determine a solução geral das EDOs:
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(d) .
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
(e) .