Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Obtenha o momento de inércia em relação ao seu eixo de simetria do sólido limitado abaixo pelo parabolóide de revolução z = (x^2 + y^2) / 3 e acima pela calota esférica da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4. Suponha a densidade volumétrica de massa deste sólido constante e igual a 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente tem um sólido formado por um parabolóide de revolução e uma calota esférica. A densidade é constante, igual a 1. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas ou esféricas pra facilitar os cálculos. O objetivo é encontrar o momento de inércia desse sólido em relação ao eixo de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações que delimitam o sólido:
  • O parabolóide de revolução é dado por .
  • A esfera que forma a calota é .
Vamos usar coordenadas cilíndricas porque tem simetria circular, o que facilita a integração. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:

  • E o elemento de volume é .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Precisamos encontrar onde o parabolóide e a esfera se encontram. Igualando as duas equações:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando tudo por 9 para simplificar:
Rearranjando:
Fazendo uma substituição :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, (descartamos a solução negativa). Assim, e .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos agora montar a integral para o momento de inércia em relação ao eixo de simetria (z-axis). A fórmula para o momento de inércia em coordenadas cilíndricas é:
Onde é a distância ao eixo de rotação. Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar a integral:
Calculando as integrais internas:
  1. Para , fazemos uma substituição , .
  2. Para , é uma integral direta.

Passo 7

Resolvendo a primeira integral com substituição:
A integral fica:
Expandindo:
Voltando para :

Passo 8

Calculando a segunda integral:

Passo 9

Substituindo tudo na expressão de :
Após calcular a primeira integral no intervalo de 0 a , substituímos os limites e simplificamos para encontrar o valor final.

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo de simetria do sólido dado é .

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