Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Obtenha o momento de inércia em relação ao seu eixo de simetria do sólido limitado abaixo pelo parabolóide de revolução
e acima pela calota esférica da esfera
. Suponha a densidade volumétrica de massa deste sólido constante e igual a 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia! A gente tem um sólido formado por um parabolóide de revolução e uma calota esférica. A densidade é constante, igual a 1. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas ou esféricas pra facilitar os cálculos. O objetivo é encontrar o momento de inércia desse sólido em relação ao eixo de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações que delimitam o sólido:
- O parabolóide de revolução é dado por
. - A esfera que forma a calota é
.
Vamos usar coordenadas cilíndricas porque tem simetria circular, o que facilita a integração. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
E o elemento de volume é.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Precisamos encontrar onde o parabolóide e a esfera se encontram. Igualando as duas equações:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando tudo por 9 para simplificar:
Rearranjando:
Fazendo uma substituição
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
(descartamos a solução negativa). Assim,
e
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos agora montar a integral para o momento de inércia
em relação ao eixo de simetria (z-axis). A fórmula para o momento de inércia em coordenadas cilíndricas é:
Onde
é a distância ao eixo de rotação. Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Calculando as integrais internas:
- Para
, fazemos uma substituição , . - Para
, é uma integral direta.
Passo 7
Resolvendo a primeira integral com substituição:
A integral fica:
Expandindo:
Voltando para
:
Passo 8
Calculando a segunda integral:
Passo 9
Substituindo tudo na expressão de
:
Após calcular a primeira integral no intervalo de 0 a
, substituímos os limites e simplificamos para encontrar o valor final.
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo de simetria do sólido dado é
.