Resolva em R as inequações abaixo:
(a) sqrt(5x + 3) / x < raiz(2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação nos números reais. Aqui, a gente vai precisar usar conhecimentos de inequações envolvendo radicais e frações. Vamos precisar considerar os valores de que mantêm a expressão definida e resolver a desigualdade passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a expressão esteja definida. Para a raiz quadrada existir, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:

Passo 3

Resolvendo a desigualdade :
Então, deve ser maior ou igual a .

Passo 4

Além disso, como temos uma fração , o denominador não pode ser zero:

Passo 5

Agora, vamos considerar os casos onde é positivo e onde é negativo, já que o denominador pode mudar o sinal da inequação.
Caso 1:
Caso 2:

Passo 6

Caso 1:
Multiplicando ambos os lados da inequação por (positivo, então a desigualdade mantêm a direção):

Passo 7

Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz (lembre-se de que ao elevar ao quadrado, ambos os lados devem ser não negativos):

Passo 8

Reorganizando a inequação:
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os pontos críticos.

Passo 9

Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então:

Passo 10

A inequação será satisfeita quando ou .
Mas no Caso 1, lembramos que . Então, a solução desse caso é .

Passo 11

Caso 2:
Multiplicando a inequação por negativo, a desigualdade inverte a direção:

Passo 12

Como é negativo e é sempre não negativo, a inequação sempre será verdadeira neste intervalo, pois o lado esquerdo é positivo e o direito é negativo.

Passo 13

Portanto, no Caso 2, toda a faixa satisfaz a inequação.

Resposta

A solução da inequação é .

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