Resolva em
as inequações abaixo:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
nos números reais. Aqui, a gente vai precisar usar conhecimentos de inequações envolvendo radicais e frações. Vamos precisar considerar os valores de
que mantêm a expressão definida e resolver a desigualdade passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a expressão
esteja definida. Para a raiz quadrada existir, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade
:
Então,
deve ser maior ou igual a
.
Passo 4
Além disso, como temos uma fração
, o denominador
não pode ser zero:
Passo 5
Agora, vamos considerar os casos onde
é positivo e onde
é negativo, já que o denominador pode mudar o sinal da inequação.
Caso 1:
Caso 2:
Passo 6
Caso 1:
Multiplicando ambos os lados da inequação
por
(positivo, então a desigualdade mantêm a direção):
Passo 7
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz (lembre-se de que ao elevar ao quadrado, ambos os lados devem ser não negativos):
Passo 8
Reorganizando a inequação:
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os pontos críticos.
Passo 9
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então:
Passo 10
A inequação
será satisfeita quando
ou
.
Mas no Caso 1, lembramos que
. Então, a solução desse caso é
.
Passo 11
Caso 2:
Multiplicando a inequação
por
negativo, a desigualdade inverte a direção:
Passo 12
Como
é negativo e
é sempre não negativo, a inequação
sempre será verdadeira neste intervalo, pois o lado esquerdo é positivo e o direito é negativo.
Passo 13
Portanto, no Caso 2, toda a faixa
satisfaz a inequação.
Resposta
A solução da inequação é
.
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Emi cada caso, dada
, encontre:
&
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;
Resolva em
as inequações abaixo:
(e) .
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