Verifique se as funções são ou não transformações lineares: dada por .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função definida por é ou não uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares da Álgebra Linear, que basicamente devem respeitar duas propriedades importantes: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
A primeira propriedade que vamos verificar é a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores e em , a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados da equação.
Passo 3
Calculando o lado esquerdo:
Então,
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculando o lado direito:
Somando :
Simplificando:
Passo 5
Comparando os dois resultados:
Notamos que no segundo componente, tem enquanto tem . Isso significa que:
Portanto, a propriedade da aditividade não é satisfeita.
Passo 6
Mesmo que a aditividade falhe, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Para qualquer escalar e vetor em , a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados.
Passo 7
Calculando o lado esquerdo:
Então,
Passo 8
Calculando o lado direito:
Passo 9
Comparando os dois resultados:
Vemos que no segundo componente, tem enquanto tem . A menos que , esses dois não são iguais. Portanto:
A propriedade da homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.