Verifique se as funções são ou não transformações lineares: dada por .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função definida por é ou não uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares da Álgebra Linear, que basicamente devem respeitar duas propriedades importantes: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

A primeira propriedade que vamos verificar é a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores e em , a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados da equação.

Passo 3

Calculando o lado esquerdo:
Então,
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculando o lado direito:
Somando :
Simplificando:

Passo 5

Comparando os dois resultados:
Notamos que no segundo componente, tem enquanto tem . Isso significa que:
Portanto, a propriedade da aditividade não é satisfeita.

Passo 6

Mesmo que a aditividade falhe, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Para qualquer escalar e vetor em , a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados.

Passo 7

Calculando o lado esquerdo:
Então,

Passo 8

Calculando o lado direito:

Passo 9

Comparando os dois resultados:
Vemos que no segundo componente, tem enquanto tem . A menos que , esses dois não são iguais. Portanto:
A propriedade da homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.

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Seja a função


Mostrar que f é um produto interno em e calcular:
b) Um vetor unitário a partir de ;
Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regram de Cramer:
(b)
Resolva pela regra de Cramer os sistemas de equações abaixo:
©
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