Verifique se as funções são ou não transformações lineares:
dada por
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função
definida por
é ou não uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares da Álgebra Linear, que basicamente devem respeitar duas propriedades importantes: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
A primeira propriedade que vamos verificar é a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores
e
em
, a função
deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados da equação.
Passo 3
Calculando o lado esquerdo:
Então,
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculando o lado direito:
Somando
:
Simplificando:
Passo 5
Comparando os dois resultados:
Notamos que no segundo componente,
tem
enquanto
tem
. Isso significa que:
Portanto, a propriedade da aditividade não é satisfeita.
Passo 6
Mesmo que a aditividade falhe, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
em
, a função
deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados.
Passo 7
Calculando o lado esquerdo:
Então,
Passo 8
Calculando o lado direito:
Passo 9
Comparando os dois resultados:
Vemos que no segundo componente,
tem
enquanto
tem
. A menos que
, esses dois não são iguais. Portanto:
A propriedade da homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
A função
não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.