Verifique se as funções são ou não transformações lineares: T: R^2 longrightarrow R^3 dada por T(x, y)=(x+2 y, x+y-1,2 y).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função definida por é ou não uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares da Álgebra Linear, que basicamente devem respeitar duas propriedades importantes: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

A primeira propriedade que vamos verificar é a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e em , a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados da equação.

Passo 3

Calculando o lado esquerdo:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
Então,
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ( (x1 + x2) + 2(y1 + y2), (x1 + x2) + (y1 + y2) - 1, 2(y1 + y2) )
Simplificando:
= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, x1 + x2 + y1 + y2 - 1, 2y1 + 2y2)

Passo 4

Agora, calculando o lado direito:
T(u) = T(x1, y1) = (x1 + 2y1, x1 + y1 - 1, 2y1)
T(v) = T(x2, y2) = (x2 + 2y2, x2 + y2 - 1, 2y2)
Somando = (x1 + 2y1 + x2 + 2y2, x1 + y1 - 1 + x2 + y2 - 1, 2y1 + 2y2) :
= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, x1 + x2 + y1 + y2 - 2, 2y1 + 2y2)
Simplificando:

Passo 5

Comparando os dois resultados:
T(u + v) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, x1 + x2 + y1 + y2 - 1, 2y1 + 2y2)
T(u) + T(v) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, x1 + x2 + y1 + y2 - 2, 2y1 + 2y2)
Notamos que no segundo componente, T(u + v) neq T(u) + T(v) tem enquanto tem . Isso significa que:
Portanto, a propriedade da aditividade não é satisfeita.

Passo 6

Mesmo que a aditividade falhe, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Para qualquer escalar T(c u) = c T(u) e vetor em , a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados.

Passo 7

Calculando o lado esquerdo:
c u = (c x, c y)
Então,
T(c x, c y) = (c x + 2 c y, c x + c y - 1, 2 c y) = (c(x + 2y), c(x + y) - 1, 2c y)

Passo 8

Calculando o lado direito:
c T(u) = c (x + 2y, x + y - 1, 2y) = (c(x + 2y), c(x + y - 1), c cdot 2y) = (c(x + 2y), c(x + y) - c, 2c y)

Passo 9

Comparando os dois resultados:
T(c u) = (c(x + 2y), c(x + y) - 1, 2c y)
c T(u) = (c(x + 2y), c(x + y) - c, 2c y)
Vemos que no segundo componente, T(c u) neq c T(u) tem enquanto tem . A menos que , esses dois não são iguais. Portanto:
A propriedade da homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.

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