Resolva a seguinte desigualdade: (2+x)/|3-2x| < 1/(2x-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Aqui estamos lidando com desigualdades envolvendo valor absoluto e frações. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto e as condições onde as expressões estão definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as expressões estão definidas. O denominador não pode ser zero, então . Resolvendo isso:
Além disso, o denominador da fração da direita, , também não pode ser zero:
Então, já sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos considerar os casos do valor absoluto . O valor absoluto muda dependendo do sinal de .
Caso 1: \
Isso significa que .
Caso 2: \
Isso significa que .

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade em cada caso separadamente.
Caso 1: \
Aqui, . Então, a desigualdade fica:
Note que , então podemos reescrever a desigualdade como:
Multiplicando ambos os lados por (positivo neste caso, já que ):
Então, neste caso, as soluções são .
Caso 2: \
Aqui, . A desigualdade fica:
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, analisamos quando a fração é negativa. O numerador para e o denominador para . A fração será negativa quando uma das partes for positiva e a outra negativa. Mas como já, e também é positivo, não há solução neste caso.

Resposta

A solução da desigualdade é .

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