Resolva a seguinte desigualdade:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Aqui estamos lidando com desigualdades envolvendo valor absoluto e frações. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto e as condições onde as expressões estão definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as expressões estão definidas. O denominador
não pode ser zero, então
. Resolvendo isso:
Além disso, o denominador da fração da direita,
, também não pode ser zero:
Então, já sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos considerar os casos do valor absoluto
. O valor absoluto muda dependendo do sinal de
.
Caso 1:
\
Isso significa que .
Isso significa que
Caso 2:
\
Isso significa que .
Isso significa que
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade em cada caso separadamente.
Caso 1:
\
Aqui, . Então, a desigualdade fica:
Aqui,
Note que
, então podemos reescrever a desigualdade como:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo neste caso, já que
):
Então, neste caso, as soluções são
.
Caso 2:
\
Aqui, . A desigualdade fica:
Aqui,
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, analisamos quando a fração é negativa. O numerador
para
e o denominador
para
. A fração será negativa quando uma das partes for positiva e a outra negativa. Mas como
já, e
também é positivo, não há solução neste caso.
Resposta
A solução da desigualdade é
.