Seja f: R R a função definida por f(x)=ll-x+1, & se x<0 cos x, & se 0 <= x <= pi -(x-pi)^2-1, & se x>pi.
A função f é sobrejetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x) = -x + 1, & se x < 0 cos x, & se 0 <= x <= pi -(x - pi)^2 - 1, & se x > pi definida por partes:
Queremos saber se essa função é sobrejetora, ou seja, se para todo número real , existe pelo menos um tal que . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Vamos analisar cada trecho da função separadamente para entender quais valores de cada parte pode produzir.
  1. Para :
    A função é .
    • Quando tende a , tende a , então também tende a .
    • Quando se aproxima de 0 pelas negativas, se aproxima de 1.
      Intervalo gerado: .
  2. Para :
    A função é .
    • O cosseno varia entre -1 e 1 nesse intervalo.
      Intervalo gerado: .
  3. Para :
    A função é .
    • é sempre positivo ou zero, então é sempre negativo ou zero.
    • Isso significa que será sempre menor ou igual a -1 e tende a quando tende a .
      Intervalo gerado: .

Passo 3

Agora que analisamos cada pedaço da função, vamos juntar os intervalos gerados:
  • Para (-infty, -1] cup [-1, 1] cup (1, +infty) = R :
  • Para :
  • Para :
Quando combinamos esses intervalos, cobrimos todos os números reais:

Resposta

Sim, a função é sobrejetora, pois sua imagem cobre todos os números reais.

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