Seja a função definida por .
A função f é sobrejetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x) = -x + 1, & se x < 0 cos x, & se 0 <= x <= pi -(x - pi)^2 - 1, & se x > pi definida por partes:
Queremos saber se essa função é sobrejetora, ou seja, se para todo número real , existe pelo menos um tal que . Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Vamos analisar cada trecho da função separadamente para entender quais valores de cada parte pode produzir.
Para :
A função é .
Quando tende a , tende a , então também tende a .
Quando se aproxima de 0 pelas negativas, se aproxima de 1. Intervalo gerado:.
Para :
A função é .
O cosseno varia entre -1 e 1 nesse intervalo. Intervalo gerado:.
Para :
A função é .
é sempre positivo ou zero, então é sempre negativo ou zero.
Isso significa que será sempre menor ou igual a -1 e tende a quando tende a . Intervalo gerado:.
Passo 3
Agora que analisamos cada pedaço da função, vamos juntar os intervalos gerados:
Para (-infty, -1] cup [-1, 1] cup (1, +infty) = R :
Para :
Para :
Quando combinamos esses intervalos, cobrimos todos os números reais:
Resposta
Sim, a função é sobrejetora, pois sua imagem cobre todos os números reais.