Sejam a, b, c e d números reais não nulos.
Considere as seguintes afirmações:
I - Se a c = b c, então a = b.
II -a^2 > 0.
III - Se a < b e c < d, então a * c < b * d.
IV - Se a < b, então 1/a > 1/b.
Podemos afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Todas as afirmações são falsas.
c) As afirmações I e III são verdadeiras e as afirmações II e IV são falsas.
d) As afirmações I e II são verdadeiras e as afirmações III e IV são falsas.
e) Apenas a afirmação II é verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro afirmações envolvendo números reais e . Precisamos verificar quais dessas afirmações são verdadeiras ou falsas para depois escolher a alternativa correta. Para resolver isso, vamos analisar cada afirmação uma por uma, usando conhecimentos básicos de álgebra.

Passo 2

Afirmação I: “Se , então .”
Aqui, temos uma igualdade envolvendo multiplicação. Se é um número real diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da equação por para isolar e :
Então, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: .”
Vamos analisar essa desigualdade. é sempre positivo ou zero, já que qualquer número ao quadrado não pode ser negativo. Multiplicando por -1:
Isso significa que nunca será maior que 0, apenas menor ou igual a zero. Portanto, a afirmação II é falsa.

Passo 4

Afirmação III: “Se e , então .”
Vamos considerar que e são todos números reais positivos para facilitar a análise (já que a afirmação não especifica). Se e , então multiplicando ambos os pares:
Assim, por transitividade:
Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Afirmação IV: “Se , então .”
Vamos analisar essa desigualdade. Lembre-se que se e são positivos e , então . Isso ocorre porque, ao dividir 1 por um número menor, o resultado é maior. Por exemplo, se e :
Portanto, a afirmação IV é verdadeira, mas precisamos considerar o contexto dado na questão. Como a afirmação III pressupõe positivos para ser verdadeira, podemos assumir que IV também é verdadeira nesse contexto.

Resposta

A alternativa correta é a a) Todas as afirmações são verdadeiras.

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