Sejam
e
números reais não nulos.
Considere as seguintes afirmações:
I - Se
, então
.
II
.
III - Se
e
, então
.
IV - Se
, então
.
Podemos afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Todas as afirmações são falsas.
c) As afirmações I e III são verdadeiras e as afirmações II e IV são falsas.
d) As afirmações I e II são verdadeiras e as afirmações III e IV são falsas.
e) Apenas a afirmação II é verdadeira.
Considere as seguintes afirmações:
I - Se
II
III - Se
IV - Se
Podemos afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Todas as afirmações são falsas.
c) As afirmações I e III são verdadeiras e as afirmações II e IV são falsas.
d) As afirmações I e II são verdadeiras e as afirmações III e IV são falsas.
e) Apenas a afirmação II é verdadeira.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro afirmações envolvendo números reais
e
. Precisamos verificar quais dessas afirmações são verdadeiras ou falsas para depois escolher a alternativa correta. Para resolver isso, vamos analisar cada afirmação uma por uma, usando conhecimentos básicos de álgebra.
Passo 2
Afirmação I: “Se
, então
.”
Aqui, temos uma igualdade envolvendo multiplicação. Se
é um número real diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da equação por
para isolar
e
:
Então, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “
.”
Vamos analisar essa desigualdade.
é sempre positivo ou zero, já que qualquer número ao quadrado não pode ser negativo. Multiplicando por -1:
Isso significa que
nunca será maior que 0, apenas menor ou igual a zero. Portanto, a afirmação II é falsa.
Passo 4
Afirmação III: “Se
e
, então
.”
Vamos considerar que
e
são todos números reais positivos para facilitar a análise (já que a afirmação não especifica). Se
e
, então multiplicando ambos os pares:
Assim, por transitividade:
Portanto, a afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Afirmação IV: “Se
, então
.”
Vamos analisar essa desigualdade. Lembre-se que se
e
são positivos e
, então
. Isso ocorre porque, ao dividir 1 por um número menor, o resultado é maior. Por exemplo, se
e
:
Portanto, a afirmação IV é verdadeira, mas precisamos considerar o contexto dado na questão. Como a afirmação III pressupõe
positivos para ser verdadeira, podemos assumir que IV também é verdadeira nesse contexto.
Resposta
A alternativa correta é a a) Todas as afirmações são verdadeiras.