Resolva o seguinte P.V.I.: .
b) Ache a solução do P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação dada é com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Definimos , então . Substituindo na equação:
Agora, temos uma equação em termos de e .

Passo 4

Como , podemos expressar como . Mas também podemos usar a regra da cadeia para escrever . Substituindo na equação:

Passo 5

Separando as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial e para encontrar :
Portanto, a equação simplifica para:

Passo 8

Vamos separar as variáveis para integrar:
Simplificando:
Integrando ambos os lados:
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Simplificando a expressão:
Usando a condição inicial :
Portanto, a equação fica:

Passo 10

Resolvendo para :

Resposta

A solução do P.V.I. é:

Exercícios relacionados

Resolva a seguinte EDO: , para .
b) Encontre a Solução Particular, ;
Resolva o seguinte P.V.I.:
a) Encontre a Solução Geral.
Resolva a seguinte EDO: , para .
a) Encontre a Solução Homogênea, ;
Resolva a seguinte EDO: , para .
c) Dê a Solução Geral, .