Solução de uma Equação com Condição Inicial: Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo primeira ordem linear. O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
). Ele é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em uma forma que facilita a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso simplifica bastante a resolução, pois podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é