Solução de uma Equação com Condição Inicial: Resolva:
d yd x+5 y=2 e^-3 x com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo primeira ordem linear. O enunciado pede para encontrar a função dydx + 5y = 2e^-3x que satisfaz a equação
com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação no formato padrão:
dydx + P(x)y = Q(x)
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x)dx = e^integral 5 dx = e^5x ). Ele é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em uma forma que facilita a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^5x cdot dydx + 5e^5x y = 2e^5x cdot e^-3x
Simplificando o lado direito:
e^5x cdot dydx + 5e^5x y = 2e^2x

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddx( e^5x y ) = 2e^2x :
Isso simplifica bastante a resolução, pois podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral ddx( e^5x y ) dx = integral 2e^2x dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^5x y = 22e^2x + C Rightarrow e^5x y = e^2x + C , e a do lado direito:

Passo 7

Agora, isolamos y = e^-5x cdot e^2x + C e^-5x = e^-3x + Ce^-5x dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial 1 = e^0 + C e^0 Rightarrow 1 = 1 + C Rightarrow C = 0 para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(x) = e^-3x

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