Resolva a seguinte equação integro diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação integro-diferencial que precisa ser resolvida. O problema é:
Esse tipo de equação envolve derivadas e integrais da função desconhecida, ou seja, o
. Para resolver, vamos usar a transformação de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e integro-diferenciais. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação de Laplace em ambos os lados da equação. A transformação de Laplace de uma função
é definida como:
Aplicando isso na equação dada:
Passo 3
Sabemos que a transformação de Laplace da derivada
é:
E a transformação de
é:
Então, substituindo na equação, temos:
Passo 4
Agora, vamos lidar com o termo integral. Observamos que a integral é uma convolução entre
e
. A propriedade da convolução na transformação de Laplace diz que:
E sabemos que:
Então, o termo integral na transformação de Laplace fica:
Passo 5
Substituindo tudo de volta na equação transformada, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Vamos isolar
. Primeiro, movemos o termo constante:
Fatoramos
:
Simplificando a expressão dentro do parênteses:
Então, temos:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar a transformação inversa de Laplace para
para obter
. Sabemos que:
Então, aplicando a transformação inversa:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação é:
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Resolva
pelo método da variação dos parâmetros.