Resolva a seguinte equação integro diferencial:
y^prime(t)=t+integral0^t y(t-x) cos (x) d x y(0)=6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação integro-diferencial que precisa ser resolvida. O problema é:
y^prime(t) = t + integral0^t y(t - x) cos(x) , dx com y(0) = 6
Esse tipo de equação envolve derivadas e integrais da função desconhecida, ou seja, o . Para resolver, vamos usar a transformação de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e integro-diferenciais. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação de Laplace em ambos os lados da equação. A transformação de Laplace de uma função Ly(t) = Y(s) = integral0^infty e^-st y(t) , dt é definida como:
Ly^prime(t) = Lt + Lintegral0^t y(t - x) cos(x) , dx
Aplicando isso na equação dada:

Passo 3

Sabemos que a transformação de Laplace da derivada Ly^prime(t) = s Y(s) - y(0) é:
Lt = 1s^2
E a transformação de s Y(s) - y(0) = 1s^2 + Lintegral0^t y(t - x) cos(x) , dx é:
Então, substituindo na equação, temos:

Passo 4

Agora, vamos lidar com o termo integral. Observamos que a integral é uma convolução entre Lintegral0^t y(t - x) cos(x) , dx = Y(s) cdot Lcos(t) e Lcos(t) = ss^2 + 1 . A propriedade da convolução na transformação de Laplace diz que:
Y(s) cdot ss^2 + 1
E sabemos que:
Então, o termo integral na transformação de Laplace fica:

Passo 5

Substituindo tudo de volta na equação transformada, temos:
s Y(s) - y(0) = 1s^2 + Y(s) cdot ss^2 + 1
Sabemos que s Y(s) - 6 = 1s^2 + s Y(s)s^2 + 1 , então:

Passo 6

Vamos isolar s Y(s) - s Y(s)s^2 + 1 = 6 + 1s^2 . Primeiro, movemos o termo constante:
Y(s) ( s - ss^2 + 1 ) = 6 + 1s^2
Fatoramos s (1 - 1s^2 + 1) = s ( s^2 + 1 - 1s^2 + 1 ) = s cdot s^2s^2 + 1 = s^3s^2 + 1 :
Y(s) cdot s^3s^2 + 1 = 6 + 1s^2
Simplificando a expressão dentro do parênteses:
Então, temos:

Passo 7

Agora, isolamos Y(s) = 6 + 1s^2s^3s^2 + 1 = (6 + 1s^2) cdot s^2 + 1s^3 :
Y(s) = 6(s^2 + 1)s^3 + 1(s^2 + 1)s^5 = 6s^2 + 6s^3 + s^2 + 1s^5
Distribuindo os termos:
Y(s) = 6s + 6s^3 + 1s^3 + 1s^5 = 6s + 7s^3 + 1s^5
Simplificando:

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a transformação inversa de Laplace para L^-11s = 1 para obter L^-11s^3 = t^22 . Sabemos que:
L^-11s^5 = t^424
y(t) = 6 cdot 1 + 7 cdot t^22 + t^424
y(t) = 6 + 72 t^2 + t^424
Então, aplicando a transformação inversa:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação é:
y(t) = 6 + 72 t^2 + t^424

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