Resolva a seguinte equação integro diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação integro-diferencial que precisa ser resolvida. O problema é:
Esse tipo de equação envolve derivadas e integrais da função desconhecida, ou seja, o . Para resolver, vamos usar a transformação de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e integro-diferenciais. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação de Laplace em ambos os lados da equação. A transformação de Laplace de uma função é definida como:
Aplicando isso na equação dada:

Passo 3

Sabemos que a transformação de Laplace da derivada é:
E a transformação de é:
Então, substituindo na equação, temos:

Passo 4

Agora, vamos lidar com o termo integral. Observamos que a integral é uma convolução entre e . A propriedade da convolução na transformação de Laplace diz que:
E sabemos que:
Então, o termo integral na transformação de Laplace fica:

Passo 5

Substituindo tudo de volta na equação transformada, temos:
Sabemos que , então:

Passo 6

Vamos isolar . Primeiro, movemos o termo constante:
Fatoramos :
Simplificando a expressão dentro do parênteses:
Então, temos:

Passo 7

Agora, isolamos :
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a transformação inversa de Laplace para para obter . Sabemos que:
Então, aplicando a transformação inversa:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação é:

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