Resolva utilizando a convolução
y(t)=t^2+integral0^t y(x) sen(t-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve convolução, que é meio que uma mistura de funções. A equação é:
Isso tá ligado ao estudo de transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações que têm integrais como essa. Vamos usar a transformada de Laplace pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. A transformada de Laplace de y(t) é Y(s), e sabemos que:
Lt^2 = 2s^3
Então, aplicando a transformada:

Passo 3

A parte da integral com a convolução pode ser simplificada usando a propriedade de convolução das transformadas de Laplace. Lembrando que:
Lf(t) * g(t) = Lf(t) cdot Lg(t)
Aqui, f(t) = y(t) e . Então:

Passo 4

Agora, vamos colocar tudo junto na equação transformada:
Y(s) = 2s^3 + Y(s) cdot 1s^2 + 1
Queremos isolar Y(s), então vamos levar o termo com Y(s) para o outro lado:
Y(s) - Y(s) cdot 1s^2 + 1 = 2s^3
Fatorando Y(s):
Y(s) (1 - 1s^2 + 1) = 2s^3

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do parênteses:
1 - 1s^2 + 1 = s^2 + 1 - 1s^2 + 1 = s^2s^2 + 1
Então a equação fica:
Y(s) cdot s^2s^2 + 1 = 2s^3

Passo 6

Agora, isolamos Y(s) multiplicando ambos os lados por s^2 + 1s^2:
Y(s) = 2s^3 cdot s^2 + 1s^2 = 2(s^2 + 1)s^5
Separando os termos:
Y(s) = 2s^2s^5 + 2s^5 = 2s^3 + 2s^5

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t). Sabemos que:
L^-12s^3 = 2t^22 = t^2
E:
L^-12s^5 = 2t^44! = t^412
Então, juntando os dois resultados:
y(t) = t^2 + t^412

Resposta

A solução da equação é:
y(t) = t^2 + t^412

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