Resolva utilizando a convolução
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve convolução, que é meio que uma mistura de funções. A equação é:
Isso tá ligado ao estudo de transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações que têm integrais como essa. Vamos usar a transformada de Laplace pra facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. A transformada de Laplace de
é
, e sabemos que:
Então, aplicando a transformada:
Passo 3
A parte da integral com a convolução pode ser simplificada usando a propriedade de convolução das transformadas de Laplace. Lembrando que:
Aqui,
e . Então:
Passo 4
Agora, vamos colocar tudo junto na equação transformada:
Queremos isolar
, então vamos levar o termo com
para o outro lado:
Fatorando
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do parênteses:
Então a equação fica:
Passo 6
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Separando os termos:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
E:
Então, juntando os dois resultados:
Resposta
A solução da equação é:
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