Resolva utilizando a convolução

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve convolução, que é meio que uma mistura de funções. A equação é:
Isso tá ligado ao estudo de transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações que têm integrais como essa. Vamos usar a transformada de Laplace pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. A transformada de Laplace de é , e sabemos que:
Então, aplicando a transformada:

Passo 3

A parte da integral com a convolução pode ser simplificada usando a propriedade de convolução das transformadas de Laplace. Lembrando que:
Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos colocar tudo junto na equação transformada:
Queremos isolar , então vamos levar o termo com para o outro lado:
Fatorando :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do parênteses:
Então a equação fica:

Passo 6

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Separando os termos:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
E:
Então, juntando os dois resultados:

Resposta

A solução da equação é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações exponenciais:
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Resolva a seguinte equação integro diferencial:
Resolva as seguintes equações exponenciais: