Resolva o seguinte P.V.I.:
a) Encontre a Solução Geral.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, , e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 4

Percebemos que o discriminante é um número imaginário, o que indica que as raízes são complexas conjugadas. Podemos escrever:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária.

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso, e , então substituindo:

Resposta

A solução geral é:

Exercícios relacionados

Resolva o seguinte P.V.I.: .
a) Encontre a solução Geral.
a) Suponha que é uma curva fechada, simples que não engloba a origem. Use o Teorema de Green para determinar o valor de
b) Agora, suponha que é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
c) Sejam e duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
d) Use o resultado da parte c) para determinar o valor de
onde é qualquer curva fechada, simples que engloba a origem.
Resolva a seguinte EDO: , para .
b) Encontre a Solução Particular, ;
Resolva o seguinte P.V.I.: .
b) Ache a solução do P.V.I.