Resolva o seguinte P.V.I.: cy^prime prime-2 y^prime+5 y=0 y(pi2)=0 y^prime(pi2)=2
a) Encontre a Solução Geral.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma r^2 - 2r + 5 = 0 , a equação característica é . No nosso caso, , e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162
Substituindo os valores:

Passo 4

Percebemos que o discriminante r = 1 pm 2i é um número imaginário, o que indica que as raízes são complexas conjugadas. Podemos escrever:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária.

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) ) , a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = e^x ( C1 cos(2x) + C2 sin(2x) )
No nosso caso, e , então substituindo:

Resposta

A solução geral é:
y(x) = e^x ( C1 cos(2x) + C2 sin(2x) )

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