Resolva o seguinte P.V.I.:
a) Encontre a Solução Geral.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem: . O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, , e , então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Percebemos que o discriminante é um número imaginário, o que indica que as raízes são complexas conjugadas. Podemos escrever:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária.
Passo 5
Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é dada por: