A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o polinômio de Newton de quarta ordem que passa por cinco pontos específicos. Isso faz parte da matéria de Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos precisar usar a tabela de diferenças divididas, que nos ajuda a construir esse polinômio passo a passo. Depois de achar o polinômio, vamos usar ele para descobrir o valor quando .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:

Passo 3

Vamos montar a tabela de diferenças divididas. Começamos com os valores de e vamos calculando as diferenças sucessivas.

Passo 4

Calculando as primeiras diferenças divididas ( ):

Passo 5

Agora, calculamos as segundas diferenças divididas ( ):

Passo 6

Continuamos com as terceiras diferenças divididas ( ):

Passo 7

Por fim, a quarta diferença dividida ( ):

Passo 8

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio de Newton:
Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, vamos simplificar o polinômio para facilitar a avaliação:
Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, para encontrar o valor interpolado em , substituímos na expressão do polinômio:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:

Resposta

O valor interpolado em é .

Exercícios relacionados

A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
Resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de a 2 usando o tamanho de passo que , usando o método de RK de quarta ordem.
Obter a integral:
com e utilizando a regra de Simpson
Obter a integral:
com e utilizando a regra de Simpson; compara com o resultado obtido analiticamente.