A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o polinômio de Newton de quarta ordem que passa por cinco pontos específicos. Isso faz parte da matéria de Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos precisar usar a tabela de diferenças divididas, que nos ajuda a construir esse polinômio passo a passo. Depois de achar o polinômio, vamos usar ele para descobrir o valor quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Passo 3
Vamos montar a tabela de diferenças divididas. Começamos com os valores de
e vamos calculando as diferenças sucessivas.
Passo 4
Calculando as primeiras diferenças divididas (
):
Passo 5
Agora, calculamos as segundas diferenças divididas (
):
Passo 6
Continuamos com as terceiras diferenças divididas (
):
Passo 7
Por fim, a quarta diferença dividida (
):
Passo 8
Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio de Newton:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, vamos simplificar o polinômio para facilitar a avaliação:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, para encontrar o valor interpolado em
, substituímos na expressão do polinômio:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
Resposta
O valor interpolado em
é
.
Exercícios relacionados
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.
Resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de
a 2 usando o tamanho de passo
que
, usando o método de RK de quarta ordem.
Obter a integral:
com
e utilizando a regra de Simpson
Obter a integral:
com
e utilizando a regra de Simpson; compara com o resultado obtido analiticamente.