A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado em x=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o polinômio de Newton de quarta ordem que passa por cinco pontos específicos. Isso faz parte da matéria de Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos precisar usar a tabela de diferenças divididas, que nos ajuda a construir esse polinômio passo a passo. Depois de achar o polinômio, vamos usar ele para descobrir o valor quando .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
|c|c| hline x & y hline 1 & 52 2 & 5 4 & -5 5 & -40 7 & 10 hline

Passo 3

Vamos montar a tabela de diferenças divididas. Começamos com os valores de e vamos calculando as diferenças sucessivas.

Passo 4

Calculando as primeiras diferenças divididas ( f[x1, x2] = 5 - 522 - 1 = -47 ):
f[x2, x3] = -5 - 54 - 2 = -5
f[x3, x4] = -40 - (-5)5 - 4 = -35
f[x4, x5] = 10 - (-40)7 - 5 = 25

Passo 5

Agora, calculamos as segundas diferenças divididas ( f[x1, x2, x3] = -5 - (-47)4 - 1 = 423 = 14 ):
f[x2, x3, x4] = -35 - (-5)5 - 2 = -303 = -10
f[x3, x4, x5] = 25 - (-35)7 - 4 = 603 = 20

Passo 6

Continuamos com as terceiras diferenças divididas ( f[x1, x2, x3, x4] = -10 - 145 - 1 = -244 = -6 ):
f[x2, x3, x4, x5] = 20 - (-10)7 - 2 = 305 = 6

Passo 7

Por fim, a quarta diferença dividida ( f[x1, x2, x3, x4, x5] = 6 - (-6)7 - 1 = 126 = 2 ):

Passo 8

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio de Newton:
P(x) = f[x1] + f[x1, x2](x - x1) + f[x1, x2, x3](x - x1)(x - x2) + f[x1, x2, x3, x4](x - x1)(x - x2)(x - x3) + f[x1, x2, x3, x4, x5](x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)
Substituindo os valores:
P(x) = 52 - 47(x - 1) + 14(x - 1)(x - 2) - 6(x - 1)(x - 2)(x - 4) + 2(x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 5)

Passo 9

Agora, vamos simplificar o polinômio para facilitar a avaliação:
Expandindo os termos:
P(x) = 52 - 47(x - 1) + 14(x^2 - 3x + 2) - 6(x^3 - 7x^2 + 14x - 8) + 2(x^4 - 12x^3 + 49x^2 - 98x + 60)
Simplificando:
P(x) = 2x^4 - 12x^3 + 49x^2 - 98x + 60 - 6x^3 + 42x^2 - 84x + 48 + 14x^2 - 42x + 28 - 47x + 47 + 52
P(x) = 2x^4 - 18x^3 + 105x^2 - 273x + 175

Passo 10

Finalmente, para encontrar o valor interpolado em P(3) = 2(3)^4 - 18(3)^3 + 105(3)^2 - 273(3) + 175 , substituímos na expressão do polinômio:
2 times 81 = 162
Calculando passo a passo:
-18 times 27 = -486
105 times 9 = 945
-273 times 3 = -819
+ 175
162 - 486 + 945 - 819 + 175 = -324 + 945 = 621 - 819 = -198 + 175 = -23
Somando tudo:

Resposta

O valor interpolado em é .

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