A reta r passa por P=(1,-1,1) e tem vetor diretor u=(2,3,-1). Para cada um dos seguintes planos pi, determine se r e pi são paralelos, perpendiculares ou nenhum desses.
(b) pi: 4 x-y+5 z=0

Passo 1

Então, temos uma reta que passa pelo ponto e tem um vetor diretor . A gente precisa ver se essa reta é paralela, perpendicular ou nenhum dos dois em relação ao plano . Para isso, vamos usar vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano . O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então, .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a reta u cdot n = (2)(4) + (3)(-1) + (-1)(5) = 8 - 3 - 5 = 0 é paralela ao plano . Para isso, a gente vê se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano . Isso acontece se o produto escalar entre e for zero.
Calculando o produto escalar:
Como o produto escalar deu zero, significa que é perpendicular a , ou seja, a reta é paralela ao plano .

Passo 4

Vamos também checar se a reta 2 = 4k Rightarrow k = 24 = 0,5 é perpendicular ao plano 3 = -1k Rightarrow k = -3 . Para isso, o vetor diretor -1 = 5k Rightarrow k = -15 precisaria ser paralelo ao vetor normal . Ou seja, teria que existir um número tal que .
Vamos ver:
Como não existe um único valor de que satisfaça todas as equações, os vetores e não são paralelos. Logo, a reta não é perpendicular ao plano .

Resposta

A reta e o plano são paralelos.

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