Para todo , considere a matriz:
Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz definida por:
O que a gente precisa mostrar é que:
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, como transposta e inversa, e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Substituindo por na matriz , temos:
Sabemos que e , então substituindo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transposta de , que é basicamente trocar as linhas pelas colunas. A transposta de fica:
Mas olha só, isso é igual à matriz original ! Então, concluímos que:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa de . Para uma matriz , a inversa é dada por:
Onde .

Passo 5

Calculando o determinante de :
Sabemos que , então . Porém, para garantir que a matriz seja invertível, precisamos que , o que é verdadeiro para todos os .

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da inversa:
Observamos que essa matriz é igual a , que foi calculada no Passo 2. Portanto:

Resposta

Demonstramos que para todo .

Exercícios relacionados

Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
é simétrica para toda matriz quadrada de ordem .
Considere as matrizes:
, calcule e .
Resolva o seguinte sistema linear
Resolva o seguinte sistema linear:
pelo método de Gauss-Jordon