Para todo alpha in R, considere a matriz:
Talpha=[cc cos alpha & -sen alpha -sen alpha & cos alpha ]
Mostre que:
T-alpha=Talpha^-1=Talpha^T

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz Talpha=[cc cos alpha & -sin alpha -sin alpha & cos alpha ] definida por:
T-alpha=Talpha^-1=Talpha^T
O que a gente precisa mostrar é que:
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, como transposta e inversa, e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa T-alpha = [cc cos (-alpha) & -sin (-alpha) -sin (-alpha) & cos (-alpha) ] . Substituindo T-alpha = [cc cos alpha & sin alpha sin alpha & cos alpha ] por na matriz , temos:
Sabemos que e , então substituindo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transposta de Talpha^T = [cc cos alpha & -sin alpha -sin alpha & cos alpha ] , que é basicamente trocar as linhas pelas colunas. A transposta de Talpha^T = Talpha fica:
Mas olha só, isso é igual à matriz original ! Então, concluímos que:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa de Talpha^-1 = 1det(Talpha) [cc d & -b -c & a ] . Para uma matriz cc a & b c & d , a inversa é dada por:
Onde .

Passo 5

Calculando o determinante de det(Talpha) = a cdot d - b cdot c = cos alpha cdot cos alpha - (-sin alpha) cdot (-sin alpha) = cos^2 alpha - sin^2 alpha :
Sabemos que , então . Porém, para garantir que a matriz seja invertível, precisamos que , o que é verdadeiro para todos os .

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da inversa:
Talpha^-1 = 1cos^2 alpha - sin^2 alpha [cc cos alpha & sin alpha sin alpha & cos alpha ]
Observamos que essa matriz é igual a Talpha^-1 = T-alpha , que foi calculada no Passo 2. Portanto:

Resposta

Demonstramos que para todo .

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