Para todo
, considere a matriz:
Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
definida por:
O que a gente precisa mostrar é que:
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, como transposta e inversa, e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Substituindo
por
na matriz
, temos:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transposta de
, que é basicamente trocar as linhas pelas colunas. A transposta de
fica:
Mas olha só, isso é igual à matriz original
! Então, concluímos que:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inversa de
. Para uma matriz
, a inversa é dada por:
Onde
.
Passo 5
Calculando o determinante de
:
Sabemos que
, então
. Porém, para garantir que a matriz seja invertível, precisamos que
, o que é verdadeiro para todos os
.
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da inversa:
Observamos que essa matriz é igual a
, que foi calculada no Passo 2. Portanto:
Resposta
Demonstramos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
é simétrica para toda matriz quadrada
de ordem
.
Considere as matrizes:
Resolva o seguinte sistema linear
Resolva o seguinte sistema linear:
pelo método de Gauss-Jordon