Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
A+B e A B+B A são simétricas;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem que são simétricas. Ou seja, e . O objetivo é mostrar que as matrizes e também são simétricas.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades de matrizes simétricas e operações com transpostas.

Passo 2

Vamos começar mostrando que (A + B)^T = A^T + B^T é simétrica.
Sabemos que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Vamos provar isso:
(A + B)^T = A + B
Como e são simétricas:
Então, é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que (AB + BA)^T = (AB)^T + (BA)^T é simétrica.
Para isso, vamos calcular a transposta de (AB + BA)^T = B^T A^T + A^T B^T :
(AB + BA)^T = BA + AB
Usando a propriedade de que (AB + BA)^T = AB + BA :
Como e são simétricas ( e ):
Rearranjando os termos:
Então, é simétrica.

Resposta

Mostramos que e são matrizes simétricas.

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