Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
e
são simétricas;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
que são simétricas. Ou seja,
e
. O objetivo é mostrar que as matrizes
e
também são simétricas.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades de matrizes simétricas e operações com transpostas.
Passo 2
Vamos começar mostrando que
é simétrica.
Sabemos que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Vamos provar isso:
Como
e
são simétricas:
Então,
é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
é simétrica.
Para isso, vamos calcular a transposta de
:
Usando a propriedade de que
:
Como
e
são simétricas (
e
):
Rearranjando os termos:
Então,
é simétrica.
Resposta
Mostramos que
e
são matrizes simétricas.