Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
e são simétricas;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem que são simétricas. Ou seja, e . O objetivo é mostrar que as matrizes e também são simétricas.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades de matrizes simétricas e operações com transpostas.

Passo 2

Vamos começar mostrando que é simétrica.
Sabemos que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Vamos provar isso:
Como e são simétricas:
Então, é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que é simétrica.
Para isso, vamos calcular a transposta de :
Usando a propriedade de que :
Como e são simétricas ( e ):
Rearranjando os termos:
Então, é simétrica.

Resposta

Mostramos que e são matrizes simétricas.

Exercícios relacionados

Resolva o seguinte sistema linear:
pelo método de solução
Obtenha a inversa de cada matriz, caso exista.
Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
Se A é invertível, então é simétrica;
Considere as matrizes: