Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
Se A é invertível, então
é simétrica;
Se A é invertível, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que se A e B são matrizes quadradas simétricas e A é invertível, então a matriz inversa de A, que é
, também é simétrica. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes simétricas e propriedades de inversas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é basicamente virar suas linhas em colunas.
Passo 3
Agora, como A é invertível, sabemos que existe uma matriz que quando multiplicada por A, dá a matriz identidade. Essa matriz é a inversa de A, denotada por
. A propriedade importante aqui é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa, ou seja,
.
Passo 4
Vamos usar essa propriedade para a matriz inversa. Sabemos que
, onde
é a matriz identidade. Se tomarmos a transposta de ambos os lados dessa igualdade, temos:
Passo 5
Aplicando a propriedade da transposta do produto, ficamos com:
Passo 6
Sabendo que
é simétrica, ou seja,
, podemos substituir na equação:
Passo 7
Agora, comparando com a definição da inversa, vemos que
também é a inversa de
. Mas como a inversa de uma matriz é única, isso significa que:
Resposta
Portanto, mostramos que
é simétrica, já que
.