Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
Se A é invertível, então A^-1 é simétrica;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que se A e B são matrizes quadradas simétricas e A é invertível, então a matriz inversa de A, que é , também é simétrica. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes simétricas e propriedades de inversas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é basicamente virar suas linhas em colunas.

Passo 3

Agora, como A é invertível, sabemos que existe uma matriz que quando multiplicada por A, dá a matriz identidade. Essa matriz é a inversa de A, denotada por . A propriedade importante aqui é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa, ou seja, .

Passo 4

Vamos usar essa propriedade para a matriz inversa. Sabemos que (A A^-1)^T = I^T , onde é a matriz identidade. Se tomarmos a transposta de ambos os lados dessa igualdade, temos:

Passo 5

Aplicando a propriedade da transposta do produto, ficamos com:
(A^-1)^T A^T = I

Passo 6

Sabendo que (A^-1)^T A = I é simétrica, ou seja, , podemos substituir na equação:

Passo 7

Agora, comparando com a definição da inversa, vemos que (A^-1)^T = A^-1 também é a inversa de . Mas como a inversa de uma matriz é única, isso significa que:

Resposta

Portanto, mostramos que é simétrica, já que .

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