Resolva o seguinte sistema linear usando a Regra de Cramer,
5 x+2 y+z & =-12 -x+4 y+2 z & =20 2 x-3 y+10 z & =3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer. O sistema que temos é:
5x + 2y + z &= -12 -x + 4y + 2z &= 20 2x - 3y + 10z &= 3
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Regra de Cramer e como aplicá-la para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os coeficientes das variáveis em uma matriz chamada matriz dos coeficientes. Essa matriz é formada pelos números que multiplicam as variáveis nas equações. Assim, temos:
A = 5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz D = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , que chamaremos de D = 5(4 times 10 - 2 times (-3)) - 2((-1) times 10 - 2 times 2) + 1((-1) times (-3) - 4 times 2) . O determinante é um número especial que nos ajuda a resolver o sistema. A fórmula do determinante para uma matriz D = 5 times 46 - 2 times (-14) + 1 times (-5) = 230 + 28 - 5 = 253 é:
Aplicando isso à nossa matriz:
Vamos calcular passo a passo:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar os determinantes Dx = -12 & 2 & 1 20 & 4 & 2 3 & -3 & 10 , Dx = (-12)(4 times 10 - 2 times (-3)) - 2(20 times 10 - 2 times 3) + 1(20 times (-3) - 4 times 3) e Dx = (-12)(40 + 6) - 2(200 - 6) + 1(-60 - 12) = (-12)(46) - 2(194) - 72 = -552 - 388 - 72 = -1012 , que são obtidos substituindo a coluna correspondente da matriz pelos termos constantes do sistema ( , , ).
Para , substituímos a primeira coluna:
Calculando:

Passo 5

Para Dy = 5 & -12 & 1 -1 & 20 & 2 2 & 3 & 10 , substituímos a segunda coluna:
Dy = 5(20 times 10 - 2 times 3) - (-12)(-1 times 10 - 2 times 2) + 1((-1) times 3 - 20 times 2)
Calculando:
Dy = 5(200 - 6) - (-12)(-10 - 4) + 1(-3 - 40) = 5(194) - (-12)(-14) - 43 = 970 - 168 - 43 = 759

Passo 6

Para Dz = 5 & 2 & -12 -1 & 4 & 20 2 & -3 & 3 , substituímos a terceira coluna:
Dz = 5(4 times 3 - 20 times (-3)) - 2((-1) times 3 - 20 times 2) + (-12)((-1) times (-3) - 4 times 2)
Calculando:
Dz = 5(12 + 60) - 2(-3 - 40) + (-12)(3 - 8) = 5(72) - 2(-43) + (-12)(-5) = 360 + 86 + 60 = 506

Passo 7

Agora que temos x = DxD = -1012253 = -4 y = DyD = 759253 = 3 z = DzD = 506253 = 2 , , e , podemos encontrar os valores de , e usando a Regra de Cramer:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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