0 sistema linear abaixo admite uma única solução, usando a regra de Cramer determine o valor das incógnitas x, y e z desse sistema.
c x+y+z=9 x+y=6 2 y+z=11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que tem três equações com três incógnitas: , e . A gente vai usar a Regra de Cramer, que é uma técnica bacana para encontrar as soluções quando o sistema tem uma única solução. Para isso, vamos precisar calcular determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x + y + z = 9 x + y = 6 2y + z = 11
Observa que a segunda equação não tem , mas podemos reorganizar as equações para facilitar nosso trabalho.

Passo 3

A Regra de Cramer funciona melhor quando todas as equações têm o mesmo número de incógnitas. Vamos reescrever a segunda e terceira equações incluindo todos os termos:
x + y + z = 9 x + y + 0z = 6 0x + 2y + z = 11
Agora, fica mais fácil aplicar a Regra de Cramer.

Passo 4

Vamos montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 do sistema:
Precisamos calcular o determinante dessa matriz, , para ver se o sistema tem solução única.

Passo 5

Calculando det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 0) = 1(1) - 1(1) + 1(2) = 1 - 1 + 2 = 2 :
Como , o sistema tem uma única solução.

Passo 6

Agora, vamos encontrar as matrizes para Ax = 9 & 1 & 1 6 & 1 & 0 11 & 2 & 1 , det(Ax) = 9(1 cdot 1 - 0 cdot 2) - 1(6 cdot 1 - 0 cdot 11) + 1(6 cdot 2 - 1 cdot 11) = 9(1) - 1(6) + 1(12 - 11) = 9 - 6 + 1 = 4 e x = det(Ax)det(A) = 42 = 2 substituindo a coluna correspondente pelos termos constantes do sistema.
Para :
Calculando :

Passo 7

Para Ay = 1 & 9 & 1 1 & 6 & 0 0 & 11 & 1 :
det(Ay) = 1(6 cdot 1 - 0 cdot 11) - 9(1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(1 cdot 11 - 6 cdot 0) = 1(6) - 9(1) + 1(11) = 6 - 9 + 11 = 8
Calculando y = det(Ay)det(A) = 82 = 4 :

Passo 8

Para Az = 1 & 1 & 9 1 & 1 & 6 0 & 2 & 11 :
det(Az) = 1(1 cdot 11 - 6 cdot 2) - 1(1 cdot 11 - 6 cdot 0) + 9(1 cdot 2 - 1 cdot 0) = 1(11 - 12) - 1(11) + 9(2) = -1 - 11 + 18 = 6
Calculando z = det(Az)det(A) = 62 = 3 :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 2, y = 4, z = 3

Exercícios relacionados