Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, e para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Vamos verificar se
satisfaz três propriedades fundamentais para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero: O vetor
está em . - É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
Como a equação é satisfeita,
está em
.
2. Verificando a adição de vetores:
Vamos supor que temos dois vetores
e
em
. Isso significa que:
Vamos somar
e
:
Agora, verificamos se
está em
:
Portanto,
também satisfaz a equação e está em
.
3. Verificando a multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
. Então:
Multiplicando o vetor por
:
Verificando se
está em
:
Assim,
também satisfaz a equação e está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
porque satisfaz todas as propriedades necessárias.