Verifique se W=(x, y, z) in R^3 / x-2 y+3 z=0 é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, e para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Vamos verificar se satisfaz três propriedades fundamentais para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor está em .
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em x - 2y + 3z = 0 - 2(0) + 3(0) = 0 é x1 - 2y1 + 3z1 = 0 e x2 - 2y2 + 3z2 = 0 . Vamos ver se ele está em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) :
(x1 + x2) - 2(y1 + y2) + 3(z1 + z2) = (x1 - 2y1 + 3z1) + (x2 - 2y2 + 3z2) = 0 + 0 = 0
Como a equação é satisfeita, x - 2y + 3z = 0 está em cu = (cx, cy, cz) .
2. Verificando a adição de vetores:
Vamos supor que temos dois vetores (cx) - 2(cy) + 3(cz) = c(x - 2y + 3z) = c cdot 0 = 0 e em . Isso significa que:
Vamos somar e :
Agora, verificamos se está em :
Portanto, também satisfaz a equação e está em .
3. Verificando a multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor em e um escalar . Então:
Multiplicando o vetor por :
Verificando se está em :
Assim, também satisfaz a equação e está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de porque satisfaz todas as propriedades necessárias.

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