Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -2 e seja B a matriz quadrada obtida de A após serem realizadas as seguintes operações elementares sobre as linhas de A :
L5 longrightarrow 4 L5 ; L1 long<=ftrightarrow L3 ; L3 longrightarrow-3 L1+L3
Calcule o determinante da matriz B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é . A matriz é obtida a partir de realizando algumas operações elementares nas linhas de . Nosso objetivo é calcular o determinante de .
Vamos precisar entender como as operações elementares nas linhas de uma matriz afetam o determinante. As operações que podem ser feitas nas linhas de uma matriz são:
  1. Multiplicação de uma linha por um escalar: Multiplicar uma linha por um número multiplica o determinante da matriz por .
  2. Troca de duas linhas: Trocar duas linhas de posição inverte o sinal do determinante.
  3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra: Essa operação não altera o determinante da matriz.

Passo 2

A primeira operação que foi realizada é det(A) times 4 = -2 times 4 = -8 . Isso significa que a quinta linha da matriz foi multiplicada por 4. Segundo a regra das operações elementares, multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante da matriz por .
Então, após essa operação, o determinante passa a ser:

Passo 3

A segunda operação é -8 times (-1) = 8 , ou seja, a primeira e a terceira linhas da matriz foram trocadas de posição. De acordo com as regras, trocar duas linhas de posição inverte o sinal do determinante.
Portanto, após essa troca, o determinante fica:

Passo 4

A terceira operação é 8 . Isso significa que estamos substituindo a terceira linha pela soma de vezes a primeira linha com a terceira linha original. Essa operação é uma combinação linear e, segundo as regras, adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante da matriz.
Portanto, o determinante permanece o mesmo após essa operação:

Resposta

O determinante da matriz é igual a .

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