Seja uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -2 e seja a matriz quadrada obtida de após serem realizadas as seguintes operações elementares sobre as linhas de :
Calcule o determinante da matriz .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é . A matriz é obtida a partir de realizando algumas operações elementares nas linhas de . Nosso objetivo é calcular o determinante de .
Vamos precisar entender como as operações elementares nas linhas de uma matriz afetam o determinante. As operações que podem ser feitas nas linhas de uma matriz são:
Multiplicação de uma linha por um escalar: Multiplicar uma linha por um número multiplica o determinante da matriz por .
Troca de duas linhas: Trocar duas linhas de posição inverte o sinal do determinante.
Adição de um múltiplo de uma linha a outra: Essa operação não altera o determinante da matriz.
Passo 2
A primeira operação que foi realizada é . Isso significa que a quinta linha da matriz foi multiplicada por 4. Segundo a regra das operações elementares, multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante da matriz por .
Então, após essa operação, o determinante passa a ser:
Passo 3
A segunda operação é , ou seja, a primeira e a terceira linhas da matriz foram trocadas de posição. De acordo com as regras, trocar duas linhas de posição inverte o sinal do determinante.
Portanto, após essa troca, o determinante fica:
Passo 4
A terceira operação é . Isso significa que estamos substituindo a terceira linha pela soma de vezes a primeira linha com a terceira linha original. Essa operação é uma combinação linear e, segundo as regras, adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante da matriz.
Portanto, o determinante permanece o mesmo após essa operação: