Seja R a coroa circular compreendida entre x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 no primeiro quadrante. Calcule:
I=integral duplaR^square(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de integrais duplas. A questão nos apresenta uma coroa circular no primeiro quadrante, delimitada pelas circunferências I = integral duplaR (x^2 + y^2) , dx , dy e . Precisamos calcular a integral dupla:
Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas polares, que são muito úteis para integrais em regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em vez de usar x = r costheta y = r sintheta e dx , dy = r , dr , dtheta , usamos (a distância da origem) e (o ângulo em relação ao eixo positivo ). As relações são:
E o diferencial de área em coordenadas polares se transforma em:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. A região está entre os círculos de raio 1 e 2 no primeiro quadrante. Então:
  • varia de 1 a 2.
  • varia de 0 a (90 graus).

Passo 4

Substituímos a função x^2 + y^2 = r^2 em coordenadas polares:
I = integral0^pi2 integral1^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral1^2 r^3 , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral1^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154 :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a I = integral0^pi2 154 , dtheta = 154 [ theta ]0^pi2 = 154 cdot pi2 = 15pi8 :

Resposta

O valor da integral é .

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