Seja R a coroa circular compreendida entre
e
no primeiro quadrante. Calcule:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de integrais duplas. A questão nos apresenta uma coroa circular no primeiro quadrante, delimitada pelas circunferências
e
. Precisamos calcular a integral dupla:
Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas polares, que são muito úteis para integrais em regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos
(a distância da origem) e
(o ângulo em relação ao eixo positivo
). As relações são:
E o diferencial de área
em coordenadas polares se transforma em:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A região
está entre os círculos de raio 1 e 2 no primeiro quadrante. Então:
-
varia de 1 a 2. -
varia de 0 a (90 graus).
Passo 4
Substituímos a função
em coordenadas polares:
Então, a integral
fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.