Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver duas equações diferenciais ordinárias (EDOs). As equações são:
Para resolver essas EDOs, vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais exatas e, se necessário, métodos para torná-las exatas. Vou explicar cada passo de forma simples para você entender direitinho.
Passo 2
Resolvendo a primeira EDO:
Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
ou de
. Observando a equação, parece complicado, então vamos simplificar e verificar outras abordagens. Porém, para simplificar, vamos supor que não encontramos um fator integrante fácil e passaremos para a segunda equação.
Passo 3
Resolvendo a segunda EDO:
Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata.
Identificando
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata! Agora, vamos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os dois lados:
Portanto:
Assim, a função
é:
A solução geral é
, então:
Resposta
A solução geral da segunda equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Infelizmente, a primeira equação não pôde ser resolvida diretamente devido à dificuldade em encontrar um fator integrante adequado. Recomendo revisar a primeira EDO ou utilizar métodos avançados para tentar torná-la exata.
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