Resolva as seguintes EDO- (d) x y' = 2 x e^x - y + 6 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de primeira ordem: . Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão e usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear: . Para isso, dividimos todos os termos por :
Simplificando:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Agora, vamos resolver o lado direito.

Passo 6

Resolvendo usando integração por partes:
Seja e , então e .
Aplicando:
Agora, resolvendo .

Passo 7

Juntando tudo:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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