Resolva as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
A gente vai usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente, vamos verificar se a equação é homogênea e, caso seja, usar uma substituição para resolver. Vamos precisar entender um pouco sobre substituições em EDOs e como separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau. Aqui, tanto quanto são de primeiro grau, e o mesmo vale para e . Então, nossa equação é homogênea.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos usar uma substituição para simplificá-la. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Derivando ambos os lados:

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:
Substituindo e , temos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Factorando e simplificando:
Distribuindo os termos:
Juntando os termos com :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos dividir toda a equação por para facilitar:
Isso nos dá:
Agora, temos as variáveis separadas, com de um lado e do outro.

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, a parte de :
Integrando o lado esquerdo:
Do lado direito, percebemos que precisamos expressar em termos de e , mas como , vamos seguir com a integração.

Passo 8

Após integrar e simplificar, substituímos de volta na expressão para encontrar a relação entre e .
Finalmente, o resultado da integração nos dá a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO