Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
A gente vai usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente, vamos verificar se a equação é homogênea e, caso seja, usar uma substituição para resolver. Vamos precisar entender um pouco sobre substituições em EDOs e como separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau. Aqui, tanto
quanto
são de primeiro grau, e o mesmo vale para
e
. Então, nossa equação é homogênea.
Passo 3
Como a equação é homogênea, podemos usar uma substituição para simplificá-la. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Derivando ambos os lados:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Substituindo
e
, temos:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Factorando
e simplificando:
Distribuindo os termos:
Juntando os termos com
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos dividir toda a equação por
para facilitar:
Isso nos dá:
Agora, temos as variáveis separadas, com
de um lado e
do outro.
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, a parte de
:
Integrando o lado esquerdo:
Do lado direito, percebemos que precisamos expressar em termos de
e
, mas como
, vamos seguir com a integração.
Passo 8
Após integrar e simplificar, substituímos
de volta na expressão para encontrar a relação entre
e
.
Finalmente, o resultado da integração nos dá a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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