Resolva as seguintes EDO dy/dx = e^(raiz(x)) / raiz(y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma:

O objetivo é encontrar a função em termos de . Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver EDOs onde conseguimos separar as variáveis e de cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Começamos multiplicando ambos os lados da equação por para trazer todos os termos de para o lado esquerdo:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Isso significa que vamos encontrar as antiderivadas de cada lado:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:

A antiderivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:

Para resolver isso, vamos fazer uma substituição. Seja , então e . Substituindo na integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes. A antiderivada de é , então:

Substituindo de volta :

Passo 6

Agora, colocamos as integrais resolvidas de volta na equação:

Onde é uma constante geral.

Passo 7

Para simplificar, podemos escrever a expressão final para . Primeiro, vamos isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde é uma constante de integração.

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