Resolva as seguintes EDO d y/d x = (2 x + 1) sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com integração, já que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos precisar integrar a expressão do lado direito em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é encontrar , então precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Aqui, é a constante de integração que aparece porque a antiderivada de uma função tem uma constante.

Passo 3

Agora, vamos focar na integral . Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula para integração por partes é:
Vamos identificar e da seguinte maneira:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral :
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original para :

Resposta

A solução da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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