Seja
a funçlo vetorial com
.
Calcule o comprimento de arco de
entre os pontos
e
.
Calcule o comprimento de arco de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da função vetorial
entre
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais. Precisaremos calcular a derivada de
, encontrar a norma dessa derivada e, por fim, integrar essa norma no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Isso significa derivar cada componente da função vetorial separadamente:
Calculando cada derivada:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a norma de
, que é essencialmente o comprimento do vetor derivada. A fórmula da norma de um vetor
é:
Aplicando isso a
:
Simplificando cada termo:
Como
, temos:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a norma de
, podemos calcular o comprimento de arco usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos e os limites de integração:
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Resposta
O comprimento de arco de
entre
e
é
.