Seja r(t) = (sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t), 1/2 t^2) a funçlo vetorial com t em (0, infinito).
Calcule o comprimento de arco de r(t) entre os pontos t = 1 e t = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da função vetorial entre e . Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais. Precisaremos calcular a derivada de , encontrar a norma dessa derivada e, por fim, integrar essa norma no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Isso significa derivar cada componente da função vetorial separadamente:
Calculando cada derivada:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a norma de , que é essencialmente o comprimento do vetor derivada. A fórmula da norma de um vetor é:
Aplicando isso a :
Simplificando cada termo:
Como , temos:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a norma de , podemos calcular o comprimento de arco usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos e os limites de integração:
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de 1 a 2:

Resposta

O comprimento de arco de entre e é .

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