Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente lidando com EDOs. O que vamos precisar aqui é separar as variáveis para conseguir integrar os dois lados e achar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para lados opostos da equação. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Assim, conseguimos isolar os termos de
de um lado e os de
do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar pela integral do lado esquerdo:
Essa integral se divide em duas partes:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito:
Assim como antes, separamos em duas integrais:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, igualamos as duas integrais que acabamos de calcular:
Podemos simplificar isso agrupando as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.