Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y' = (x - e^(-x)) / (y + e^y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente lidando com EDOs. O que vamos precisar aqui é separar as variáveis para conseguir integrar os dois lados e achar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a derivada de em relação a , ou seja, . Vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação. Para isso, multiplicamos ambos os lados por e por :
Assim, conseguimos isolar os termos de de um lado e os de do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar pela integral do lado esquerdo:
Essa integral se divide em duas partes:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito:
Assim como antes, separamos em duas integrais:
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, igualamos as duas integrais que acabamos de calcular:
Podemos simplificar isso agrupando as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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