Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa ser resolvida para encontrar a solução geral. Se houver condições iniciais, também vamos achar a solução particular. A equação que a gente vai resolver é:
Para resolver essa EDO, vamos precisar usar o conceito de equações exatas e integração. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora; vamos explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação exata. Isso ajuda a identificar as funções que vamos integrar depois. A equação original é:
Podemos rearranjar para:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar essa função . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e que vai ser determinada na próxima etapa.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos à função :
Sabemos que isso deve ser igual a :
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos integrar para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos de volta na expressão de :
Para deixar a solução mais limpa, podemos escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária. Se forem dadas condições iniciais, podemos determinar o valor de e obter uma solução particular.

Exercícios relacionados

(a) Seja .
Determine .
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo, atentando para os domínios e contradomínios:
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.