Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa ser resolvida para encontrar a solução geral. Se houver condições iniciais, também vamos achar a solução particular. A equação que a gente vai resolver é:
Para resolver essa EDO, vamos precisar usar o conceito de equações exatas e integração. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora; vamos explicar tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação exata. Isso ajuda a identificar as funções que vamos integrar depois. A equação original é:
Podemos rearranjar para:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar essa função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e que vai ser determinada na próxima etapa.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à função
:
Sabemos que isso deve ser igual a
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos
de volta na expressão de
:
Para deixar a solução mais limpa, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária. Se forem dadas condições iniciais, podemos determinar o valor de
e obter uma solução particular.
Exercícios relacionados
(a) Seja
.
Determine .
Determine
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo, atentando para os domínios e contradomínios:
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.