Verificar que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente. Depois, determinar uma solução particular da equação não homogênea:
Passo 1
Então, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. O enunciado nos dá a equação homogênea correspondente e duas funções e . Nosso objetivo é:
Verificar se essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea.
Encontrar uma solução particular para a equação não homogênea .
Para isso, vamos precisar entender conceitos como soluções de equações homogêneas, independência linear e métodos de determinação de soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se e são soluções da equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Vamos calcular as derivadas de e e substituir na equação para confirmar se satisfazem a igualdade.
Passo 3
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, é solução da equação homogênea.
Passo 4
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto, também é solução da equação homogênea.
Passo 5
Agora, precisamos verificar a independência linear das soluções e . Para isso, usamos o Wronskiano:
Como para , as soluções são linearmente independentes, formando assim um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea.
Passo 6
Com as soluções da equação homogênea confirmadas, vamos agora determinar uma solução particular da equação não homogênea:
Para isso, utilizaremos o método da variável dos parâmetros. A fórmula para a solução particular é:
Onde e são funções a serem determinadas.
Passo 7
Primeiro, calculamos o Wronskiano já calculado anteriormente.
Em seguida, determinamos e usando as seguintes fórmulas:
Onde (dividindo ambos os lados da equação original por ).
Então:
Passo 8
Integrando e :
Desconsiderando as constantes de integração (pois serão absorvidas na solução geral), temos: