Verificar que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente. Depois, determinar uma solução particular da equação não homogênea:

Passo 1

Então, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. O enunciado nos dá a equação homogênea correspondente e duas funções e . Nosso objetivo é:
  1. Verificar se essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea.
  2. Encontrar uma solução particular para a equação não homogênea .
Para isso, vamos precisar entender conceitos como soluções de equações homogêneas, independência linear e métodos de determinação de soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se e são soluções da equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Vamos calcular as derivadas de e e substituir na equação para confirmar se satisfazem a igualdade.

Passo 3

Para :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, é solução da equação homogênea.

Passo 4

Para :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto, também é solução da equação homogênea.

Passo 5

Agora, precisamos verificar a independência linear das soluções e . Para isso, usamos o Wronskiano:
Como para , as soluções são linearmente independentes, formando assim um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea.

Passo 6

Com as soluções da equação homogênea confirmadas, vamos agora determinar uma solução particular da equação não homogênea:
Para isso, utilizaremos o método da variável dos parâmetros. A fórmula para a solução particular é:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Primeiro, calculamos o Wronskiano já calculado anteriormente.
Em seguida, determinamos e usando as seguintes fórmulas:
Onde (dividindo ambos os lados da equação original por ).
Então:

Passo 8

Integrando e :
Desconsiderando as constantes de integração (pois serão absorvidas na solução geral), temos:

Passo 9

Substituindo e na expressão de :

Resposta

A solução particular da equação não homogênea é .

Exercícios relacionados

Se e são soluções particulares da equação de Riccati, mostre que
onde é constante.
Resolva as seguintes equações:
(b)
A solução de um certo sistema massa-mola satisfaz o P.V.I.
.
Encontre a solução do PVI, determine a amplitude do movimento da massa, faça um gráfico da solução e interprete o problema e a solução.