Resolva as seguintes equações de Bernoulli:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a equação de Bernoulli:
A gente vai resolver essa equação usando o que aprendeu sobre equações de Bernoulli, que são um tipo especial de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação e usar uma substituição para torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Vamos distribuir o :
Agora, isolamos :
Simplificando:

Passo 3

Agora, queremos colocar a equação na forma padrão de Bernoulli:
Comparando com o que temos:
Aqui, identificamos:

Passo 4

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição . No nosso caso, , então:
Agora, derivamos em relação a :
Rearranjando para :

Passo 5

Substituímos na equação original:
Como , temos . Mas para simplificar, vamos dividir todos os termos por :

Passo 6

Multiplicando toda a equação por para facilitar:
Agora, sabemos que , então . Substituindo:
Multiplicando tudo por :
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear:
Onde:

Passo 8

Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante :
Desconsiderando o valor absoluto para simplificar:

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 10

Integrando ambos os lados:
Isso dá:
Resolvendo a integral por partes várias vezes, encontramos:
Portanto:
Simplificando:

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem: