Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a equação de Bernoulli:
A gente vai resolver essa equação usando o que aprendeu sobre equações de Bernoulli, que são um tipo especial de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação e usar uma substituição para torná-la mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Vamos distribuir o
:
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, queremos colocar a equação na forma padrão de Bernoulli:
Comparando com o que temos:
Aqui, identificamos:
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. No nosso caso,
, então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Rearranjando para
:
Passo 5
Substituímos
na equação original:
Como
, temos
. Mas para simplificar, vamos dividir todos os termos por
:
Passo 6
Multiplicando toda a equação por
para facilitar:
Agora, sabemos que
, então
. Substituindo:
Multiplicando tudo por
:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear:
Onde:
Passo 8
Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante
:
Desconsiderando o valor absoluto para simplificar:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Isso dá:
Resolvendo a integral por partes várias vezes, encontramos:
Portanto:
Simplificando:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.
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