Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente como separar as variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Vamos isolar a derivada:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e com do outro:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar, podemos escrever a equação exponencialmente para resolver para :
Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que , e é apenas uma constante, que podemos chamar de . Então:
Podemos substituir por para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem: