Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
2y - xy' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente como separar as variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Vamos isolar a derivada:
Dividindo ambos os lados por x:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Para isso, colocamos todos os termos com y de um lado e com x do outro:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é :
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar, podemos escrever a equação exponencialmente para resolver para y:
Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que , e é apenas uma constante, que podemos chamar de K. Então:
Podemos substituir K por C para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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