Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente como separar as variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Vamos isolar a derivada:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e com
do outro:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 5
Para simplificar, podemos escrever a equação exponencialmente para resolver para
:
Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que
, e
é apenas uma constante, que podemos chamar de
. Então:
Podemos substituir
por
para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem: