Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, então a gente tem a equação diferencial de primeira ordem . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares. Pra resolver, vamos precisar encontrar uma solução geral para em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação pra ficar mais fácil de trabalhar. Podemos isolar :

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por para deixar isolado:
Isso simplifica pra:

Passo 4

A equação ficou na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Onde .

Passo 5

Para resolver esse tipo de equação, a gente usa o fator integrante, que é .
Vamos calcular esse integrando:
Então, o fator integrante é:

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica pra:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante real.

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