Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, então a gente tem a equação diferencial de primeira ordem
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares. Pra resolver, vamos precisar encontrar uma solução geral para
em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação pra ficar mais fácil de trabalhar. Podemos isolar
:
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
isolado:
Isso simplifica pra:
Passo 4
A equação ficou na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Onde
.
Passo 5
Para resolver esse tipo de equação, a gente usa o fator integrante, que é
.
Vamos calcular esse integrando:
Então, o fator integrante é:
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica pra:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante real.
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